Информация о задаче

Задача 55392

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения BC и AD — в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырёхугольника являются вершинами ромба.

Подсказка

Если $\cup$ AD > $\cup$ BC, то $\angle$ APD = ${\frac{1}{2}}$ ( $\cup$ AD - $\cup$ BC).

Решение

Пусть P₁ и P₂ — точки пересечения биссектрисы угла BPC с окружностью, описанной около четырёхугольника ABCD, а Q₁ и Q₂ — биссектрисы угла AQB, причём точка P₁ лежит между P и P₂, Q₁ — между Q и Q₂. Тогда

$\displaystyle \cup$ AP₂ - $\displaystyle \cup$ BP₁ = $\displaystyle \cup$ DP₂ - $\displaystyle \cup$ CP₁, $\displaystyle \cup$ DQ₂ - $\displaystyle \cup$ AQ₁ = $\displaystyle \cup$ CQ₂ - $\displaystyle \cup$ BQ₁,

или

$\displaystyle \cup$ AP₂ + $\displaystyle \cup$ CP₁ = $\displaystyle \cup$ DP₂ + $\displaystyle \cup$ BP₁, $\displaystyle \cup$ AQ₁ + $\displaystyle \cup$ CQ₂ = $\displaystyle \cup$ DQ₂ + $\displaystyle \cup$ BQ₁.

Сложив почленно эти два равенства, получим, что

$\displaystyle \cup$ AP₂ + $\displaystyle \cup$ AQ₁ + $\displaystyle \cup$ CP₁ + $\displaystyle \cup$ CQ₂ = $\displaystyle \cup$ DP₂ + $\displaystyle \cup$ DQ₂ + $\displaystyle \cup$ BP₁ + $\displaystyle \cup$ BQ₁ = 180^o.

Если K — точка пересечения указанных биссектрис, то

$\displaystyle \angle$ PKQ = $\displaystyle \angle$ P₁KQ₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ AP₂ + $\displaystyle \cup$ AQ₁ + $\displaystyle \cup$ CP₁ + $\displaystyle \cup$ CQ₂) = 90^o.

Если M и N — точки пересечения прямой Q₁Q₂ со сторонами AB и CD, то треугольник PMN — равнобедренный, т.к. его биссектриса PK является высотой. Поэтому MK = KN. Аналогично докажем, что K — середина второй диагонали полученного четырёхугольника. Следовательно, это ромб.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4711