|
|
 |
Условие
Вершины B и C треугольника ABC с прямым углом A скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Найдите геометрическое место вершин A, если точки P и A лежат:
а) по разные стороны от прямой BC;
б) по одну сторону от прямой BC.
Решение
а) Обозначим ∠B = β. Точки P и A лежат на окружности с диаметром BC (рис. слева). Поэтому
∠APC = β, то есть величина угла APC постоянна. Следовательно, вершина A перемещается по лучу l с началом в точке P и образующем угол β со стороной данного прямого угла, по которой перемещается точка C. Поскольку AP – хорда окружности с диаметром BC, то AP ≤ BC, причём если катеты треугольника параллельны сторонам данного прямого угла, то AP = BC.
Пусть β ≥ 45°. Обозначим ∠CBP = γ. Поскольку 0 ≤ γ ≤ 90°, то
0 ≤ 45° – γ/2 ≤ 45° ⇒ β ≥ 45° – γ/2 ⇒ ∠ABP = β + γ ≥ 90° – β = ∠BPA. Значит, AP ≥ AB. Причём, если точка B совпадает с P, то AP = AB.
Ясно, что при указанном в условии перемещении треугольника ABC точка A опишет весь отрезок A1A2 (точки A1 и A2 таковы, что PA1 = AB и PA2 = BC).
б) Рассуждая аналогично, получим, что искомое геометрическое место есть отрезок A1A2 прямой, проходящей через точку P и образующей со стороной PC данного прямого угла угол β (рис. справа; точки A1 и A2 определяются как в а).
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4721 |
