Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55426
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD угол BCD равен 135o, а стороны равны 8. Окружность касается прямой CD и пересекает сторону AB в двух точках, расположенных на расстоянии 1 от A и B. Найдите радиус этой окружности.


Подсказка

Примените формулу a = 2R . sin$ \alpha$.


Решение

Пусть R — искомый радиус, K — точка касания указанной окружности с прямой CD, M и N — точки пересечения этой окружности со стороной AB, AM = BN = 1.

Перпендикуляр к прямой CD, проходящий через точку K, пересекает хорду MN в её середине P. Поэтому треугольник MKN — равнобедренный, его высота KP равна высоте ромба, т.е.

AD sin 45o = 4$\displaystyle \sqrt{KP^{2}+ PM^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{32+9}$ = $\displaystyle \sqrt{41}$,

sin$\displaystyle \angle$NMK = $\displaystyle {\frac{KP}{MK}}$ = $\displaystyle {\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{41}}}$.

Следовательно,

R = $\displaystyle {\frac{KN}{2\sin \angle NKM}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{41}}{\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{41}}}}$ = $\displaystyle {\frac{41\sqrt{2}}{16}}$.


Ответ

$ {\frac{41\sqrt{2}}{16}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4746

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .