Информация о задаче

Задача 55434

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD, в которой AD || BC, AD = 7, BC = 3, угол BCD равен 120^o. Хорда BM окружности пересекает отрезок AD в точке N, причём ND = 2. Найдите площадь треугольника BOM.

Подсказка

CN — высота трапеции.

Решение

Пусть P — проекция вершины C на основание AD трапеции ABCD. Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Поэтому

DP = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{2}}$ = 2.

Следовательно, точка P совпадает с точкой N, а CN — высота трапеции. Тогда

CN = DNtg $\displaystyle \angle$ CDA = 2tg60^o = 2 $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Поскольку BN^.NM = AN^.ND, то

NM = $\displaystyle {\frac{AN\cdot ND}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{AN\cdot ND}{\sqrt{BC^{2}+ CN^{2}}}}$ = $\displaystyle {\frac{10}{\sqrt{21}}}$ = $\displaystyle {\frac{10\sqrt{21}}{21}}$ ,

BM = BN + NM = $\displaystyle \sqrt{21}$ + $\displaystyle {\frac{10\sqrt{21}}{21}}$ = $\displaystyle {\frac{31\sqrt{21}}{21}}$ .

Пусть OB = OM = R. Тогда

R = $\displaystyle {\frac{AC}{2\sin \angle ADC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{AN^{2}+ CN^{2}}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{25+12}}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{3}}}$ .

Пусть OH — высота треугольника BOM. Тогда

OH = $\displaystyle \sqrt{OB^{2}- BH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{R^{2}- \frac{BM^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{5}{2\sqrt{7}}}$ .

Следовательно,

S_BOM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BM^.OH = $\displaystyle {\frac{155\sqrt{3}}{84}}$ .

Ответ

${\frac{155\sqrt{3}}{84}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4756