Задача 55444

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC катет AB = 3, катет AC = 6. Центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 находятся соответственно в точках A, B и C. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из трёх данных окружностей внешним образом.

Подсказка

Если O — центр искомой окружности, а R — её радиус, то OA = R + 1, OB = R + 2, OC = R + 3.

Решение

Пусть O — центр искомой окружности, R — её радиус. Тогда

OA = R + 1, OB = R + 2, OC = R + 3.

Пусть M и N — проекции точки O на прямые AC и AB. Обозначим AM = x. Тогда CM = 6 - x. Из прямоугольных треугольников AMO и CMO находим, что

CO² - CM² = AO² - AM², или (R + 3)² - (6 - x)² = (R + 1)² - x²,

откуда x = - R.

Обозначим AN = y. Рассматривая прямоугольные треугольники AON и BON, аналогично находим, что y = 1 - R. По теореме Пифагора

AO² = AN² + NO² = AN² + AM² = y² + x²,

или

(3 - R)² + (7 - R)² = (R + 1)².

После упрощения получим квадратное уравнение

7R² + 38R - 49 = 0.

Искомый радиус равен его положительному корню R = .

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4766