Информация о задаче

Задача 55449

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что $\angle$ AOB + $\angle$ COD = 180^o.

Подсказка

Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, есть точка пересечения биссектрис внутренних углов этого четырёхугольника.

Решение

Пусть M, N, P и Q — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно AB, BC, CD и AD данного четырёхугольника. Обозначим

$\displaystyle \angle$ MON = 2 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ NOP = 2 $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ POQ = 2 $\displaystyle \gamma$ , $\displaystyle \angle$ QOM = 2 $\displaystyle \delta$ .

Тогда

$\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$ , $\displaystyle \angle$ COD = $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ ,

$\displaystyle \angle$ AOB + $\displaystyle \angle$ COD = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.360^o = 180^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4771