Задача 55454

Тема:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Точка M находится на продолжении хорды AB. Докажите, что если точка C окружности такова, что MC² = MA ^. MB, то MC — касательная к окружности.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Предположим, что C₁ — вторая точка пересечения прямой MC с данной окружностью. Из теоремы о касательной и секущей следует, что

MC ^. MC₁ = MA ^. MB, или MC ^. (MC±CC₁) = MC².

Поэтому точки C и C₁ совпадают.

Предположим, что C₁ — вторая точка пересечения прямой MC с данной окружностью. Из теоремы о касательной и секущей следует, что

MC ^. MC₁ = MA ^. MB, или MC ^. (MC±CC₁) = MC².

Поэтому точки C и C₁ совпадают.

Предположим, что C₁ — вторая точка пересечения прямой MC с данной окружностью. Из теоремы о касательной и секущей следует, что

MC ^. MC₁ = MA ^. MB, или MC ^. (MC±CC₁) = MC².

Поэтому точки C и C₁ совпадают.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4776