Задача 55462

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Периметр треугольника ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что прямая делит периметр и площадь треугольника в равных отношениях тогда и только тогда, когда она проходит через центр вписанной окружности треугольника.

Решение

  Пусть P – периметр треугольника ABC, O и r – центр и радиус вписанной окружности, M и N – точки на сторонах AB и AC, MN – прямая, делящая площадь и периметр в равных отношениях:  AM + AN = kP,  S_AMN = kS_ABC.
  С другой стороны,  S_AMON = S_AMO + S_ANO = ½ r(AM + AN) = ½ rkP = kS_ABC.  Поэтому  S_MON = 0,  то есть прямая MN проходит через точку O.
  Обратное утверждение доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4784
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.050