Задача 55465

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Окружность делит каждую из сторон треугольника на три равные части. Докажите, что этот треугольник правильный.

Подсказка

Докажите, что медиана данного треугольника является его высотой или воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей.

Решение

Первый способ.

Пусть A и B, C и D, E и F — точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR, RP треугольника PQR. Рассмотрим медиану PS. Она проходит через середины параллельных хорд FA и DC, и поэтому, перпендикулярна им. Следовательно, PS является высотой треугольника PQR, а значит, PQ = PR. Аналогично, PQ = QR.

Второй способ.

Пусть A и B, C и D, E и F - точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR и RP треугольника QPR. Рассмотрим секущие PAB и PFE. Поскольку

PA ^. PB = PF ^. PE, PA = PQ, PF = PR,

PQ² = PR². Следовательно, PQ = PR. Аналогично PQ = QR.

Первый способ.

Пусть A и B, C и D, E и F — точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR, RP треугольника PQR. Рассмотрим медиану PS. Она проходит через середины параллельных хорд FA и DC, и поэтому, перпендикулярна им. Следовательно, PS является высотой треугольника PQR, а значит, PQ = PR. Аналогично, PQ = QR.

Второй способ.

Пусть A и B, C и D, E и F - точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR и RP треугольника QPR. Рассмотрим секущие PAB и PFE. Поскольку

PA ^. PB = PF ^. PE, PA = PQ, PF = PR,

PQ² = PR². Следовательно, PQ = PR. Аналогично PQ = QR.

Первый способ.

Пусть A и B, C и D, E и F — точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR, RP треугольника PQR. Рассмотрим медиану PS. Она проходит через середины параллельных хорд FA и DC, и поэтому, перпендикулярна им. Следовательно, PS является высотой треугольника PQR, а значит, PQ = PR. Аналогично, PQ = QR.

Второй способ.

Пусть A и B, C и D, E и F - точки пересечения окружности со сторонами соответственно PQ, QR и RP треугольника QPR. Рассмотрим секущие PAB и PFE. Поскольку

PA ^. PB = PF ^. PE, PA = PQ, PF = PR,

PQ² = PR². Следовательно, PQ = PR. Аналогично PQ = QR.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4787