Задача 55468

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Веселов Л.

Окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причём одна из точек пересечения окружностей S₁ и S₂ лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S₁ и S₂ равна радиусу окружности S. Верно ли обратное?

Подсказка

Пусть O, O₁ и O₂ — центры окружностей S, S₁ и S₂ соответственно, а M — точка пересечения окружностей S₁ и S₂, лежащая на отрезке AB. Тогда OO₁MO₂ — параллелограмм.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ — центры окружностей S, S₁ и S₂ соответственно, R, R₁ и R₂ — их радиусы, M — точка пересечения окружностей S₁ и S₂, лежащая на отрезке AB.

Равнобедренные треугольники AOB, AO₁M и MO₂B имеют один и тот же угол при основании. Поэтому O₁M || OB и O₂M || OA. Следовательно, четырёхугольник OO₁MO₂ — параллелограмм. Тогда

R₁ + R₂ = O₁M + O₂M = OO₂ + O₂B = OB = R.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4790