Задача 55471

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Проекция на прямую (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

На отрезке AB взята точка C. Прямая, проходящая через точку C, пересекает окружности с диаметрами AC и BC в точках K и L, а также окружность с диаметром AB — в точках M и N. Докажите, что KM = LN.

Подсказка

Пусть X₁Y₁ — проекция отрезка XY на прямую l, а M — середина отрезка XY. Тогда проекция точки M на прямую l — середина отрезка X₁Y₁.

Решение

Пусть P — проекция центра O окружности с диаметром AB на хорду MN этой окружности. Поскольку AKC = BLC = 90^o, то K и L — проекции точек A и B на хорду MN, а т.к. O — середина AB, то P — середина KL. Кроме того, точка P делит хорду MN пополам. Следовательно, KM = LN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4793