Задача 55473

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O. Через точку X отрезка BC проведена прямая KL, перпендикулярная XO (точки K и L лежат на прямых AB и AC). Докажите, что  KX = XL.

Подсказка

Докажите, что  ∠OKX = ∠OBX.

Решение

  Из точек B и X отрезок OK виден под прямым углом. Поэтому точки O, X, B и K лежат на одной окружности. Следовательно,  ∠OKX = ∠OBX = ∠OBC.  Аналогично  ∠OLX = ∠OCB.
  Поскольку  ∠OBC = ∠OCB,  то  ∠OKX = ∠OLX.  Следовательно, треугольник KOL равнобедренный, и его высота OX является медианой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4795