Информация о задаче

Задача 55485

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 60^o. Найдите площадь треугольника AMK.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей и теорему косинусов.

Решение

Пусть O — центр окружности. Тогда $\angle$ MOK = 120^o и MK = R $\sqrt{3}$ . Обозначим AM = x.

По теореме о касательной и секущей

AM² = AK^.AL = 2AL².

Поэтому AL = ${\frac{x}{\sqrt{2}}}$ и AK = x $\sqrt{2}$ .

По теореме косинусов из треугольника AMK находим, что

x² + 3R² - xR $\displaystyle \sqrt{3}$ = 2x², или x² + xR $\displaystyle \sqrt{3}$ - 3R² = 0.

Следовательно, x = ${\frac{R(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{2}}$ (единственный положительный корень полученного уравнения),

S_AMK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM^.MK sin 60^o = $\displaystyle {\frac{3R^{2}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{8}}$ .

Ответ

${\frac{3R^{2}(\sqrt{15} - \sqrt{3})}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4807