Информация о задаче

Задача 55488

Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Около прямоугольного треугольника ABC с катетами AC = 5 и BC = 12 описана окружность. Точки E и G — середины меньших дуг AC и BC этой окружности, точка F — середина дуги AB, не содержащей точки C. Найдите площадь четырёхугольника AEGF.

Подсказка

Пусть O — центр окружности (середина AB). Представьте площадь четырёхугольника AEGF в виде суммы площадей треугольников AOF, GOE, AOE и GOF.

Решение

Центр O окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, совпадает с серединой гипотенузы AB. Следовательно, радиус этой окружности равен половине гипотенузы, т.е. R = ${\frac{13}{2}}$ .

Серединные перпендикуляры к катетам AC и BC пересекают меньшие дуги AC и BC в их серединах E и G соответственно. Поэтому

$\displaystyle \angle$ EOA = $\displaystyle \angle$ CBA, $\displaystyle \angle$ GOE = 90^o.

Серединный перпендикуляр к гипотенузе AB пересекает дугу AB, не содержащую точку С, также в её середине F. Поэтому

$\displaystyle \angle$ AOF = 90^o, $\displaystyle \angle$ GOF = 180^o - $\displaystyle \angle$ CBA.

Следовательно,

S_AEGF = S_AOF + S_GOE + S_AOE + S_GOF =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²sin $\displaystyle \angle$ B + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R²sin(180^o - $\displaystyle \angle$ B) = R² + $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{13}}$ R² = $\displaystyle {\textstyle\frac{117}{2}}$ .

Ответ

${\frac{117}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4810