Информация о задаче

Задача 55489

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренной трапеции лежат две касающиеся окружности радиусов R, каждая из которых касается обоих оснований и одной из боковых сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях. Найдите стороны трапеции.

Подсказка

Диагональ данной трапеции отсекает от неё равнобедренный треугольник.

Решение

Первый способ.

Пусть окружность с центром O₁ касается боковой стороны AB и оснований AD и BC в точках M, K и N соответственно, а центр этой окружности лежит на диагонали AC. Поскольку AC — биссектриса угла BAD, то BC = AB = CD.

Обозначим AK = x. Из прямоугольного треугольника AO₁B находим, что MB = ${\frac{O_{1}M^{2}}{AM}}$ = ${\frac{R^{2}}{x}}$ . Поскольку AB = BC, то

x + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{x}}$ = $\displaystyle {\frac{2R^{2}}{x}}$ + 2R, или x² - 2Rx - R² = 0.

Отсюда находим, что x = R(1 + $\sqrt{2}$ ). Следовательно,

AB = BC = CD = R(1 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ) + $\displaystyle {\frac{R^{2}}{R(1+\sqrt{2})}}$ = 2R $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

AD = 2x + 2R = 2R(2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Второй способ.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Тогда O₁O₂ = 2R, а отрезок O₁O₂ принадлежит средней линии трапеции. Поэтому

O₁O₂ = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$

(AD и BC — основания трапеции, AD > BC).

Если P — проекция вершины B на AD, то

AP = $\displaystyle {\frac{AD - BC}{2}}$ = O₁O₂ = 2R.

Следовательно, APB — равнобедренный прямоугольный треугольник,

AP = BP = 2R, AB = $\displaystyle \sqrt{2}$ BP = 2R $\displaystyle \sqrt{2}$ , BC = CD = AB = 2R $\displaystyle \sqrt{2}$ ,

AD = BC + 2AP = 2R $\displaystyle \sqrt{2}$ + 4R = 2R(2 + $\displaystyle \sqrt{2}$ ).

Ответ

2R $\sqrt{2}$ , 2R $\sqrt{2}$ , 2R $\sqrt{2}$ , 2R(2 + $\sqrt{2}$ ).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4811