Информация о задаче

Задача 55502

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Пицкель Б.С.

Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

Подсказка

Докажите, что вписанная окружность данного треугольника касается его средней линии.

Решение

Пусть BC = a, AC = b — катеты прямоугольного треугольника ABC (AC > BC). Пусть касательная к вписанной окружности с центром O, параллельная катету BC, пересекает гипотенузу AB в точке M, а катет AC — в точке N. Тогда $\angle$ MOB = 90^o. Следовательно, M — середина AB. Поэтому

MN = $\displaystyle {\frac{a}{2}}$ , CN = $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ , MB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Поскольку BCNM — описанная трапеция, то

BC + MN = CN + BM, или $\displaystyle {\frac{3a}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Отсюда находим, что ${\frac{a}{b}}$ = ${\frac{3}{4}}$ .

Ответ

3:4:5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4824