Задача 55509

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Свойства инверсии ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точка C расположена на отрезке AB . По одну сторону от прямой AB на отрезках AB , AC и BC построены как на диаметрах полуокружности S , S1 и S2 . Через точку C проведена прямая CD , перпендикулярная AB ( D — точка на полуокружности S ). Окружность K1 касается отрезка CD и полуокружностей S и S1 , а окружность K2 — отрезка CD и полуокружностей S и S2 . Докажите, что окружности K1 и K2 равны.

Решение

Пусть O — центр полуокружности S , O1 , O2 — центры полуокружностей S , S1 и S2 , R и r — их радиусы (тогда радус полуокружности S равен R + r ), R > r ; Q1 и Q2 — центры окружностей K1 и K2, x и y — их радиусы; F и E — точки касания окружности K1 с полуокружностью S и с отрезком CD ; P — проекция точки Q1 на AB . Предположим, что точка O лежит между точками O1 и P . В треугольнике OQ1O1 известно, что

O1Q1=R+x, OQ1=OF-Q1F=R+r-x,

O1O=OA-O1A=R+r-R=r.
Поскольку PC = Q1E = x , то
O1P=O1C-PC=R - x, OP=O1P-OO1=R-x-r.
Из прямоугольных треугольников O1PQ1 и OPQ1 находим, что
PQ21 = O1Q21 - O1P2 = OQ21 - OP2,
или
(R+x)2-(R-x)2=(R+r-x)2-(R-r-x)2.
Из этого уравнения находим, что x = . Аналогично находим, что y = .



Обозначим окружности, полуокружностями которых являются S , S1 и S2 , теми же буквами.
Пусть R и r — радиусы окружностей S1 и S2 соответственно. Рассмотрим инверсию относительно окружности с центром B радиуса BD . Если прямая DC вторично пересекает окружность S в точке E , то окружность S , проходящая через центр B инверсии, переходит в прямую DC , т.к. точки D и E , лежащие на окружности инверсии остаются на месте.
Точка C переходит в A , т.к. BA· BC = BD2 , поэтому окружность S2 , также проходящая через центр инверсии, переходит в прямую S2' , параллельную CD и проходящую через точку A .
Окружность K2 , не проходящая через центр инверсии и касающаяся окружностей S и S2 , переходит в окружность K2' , касающуюся параллельных прямых CD и S2' , поэтому её радиус равен r .
Окружность K2' гомотетична окружности K2 , причём центр гомотетии совпадает с центром инверсии B . При этой гомотетии касательная CE к окружности K2 переходит в параллельную ей касательную S2' к окружности S1 , значит, точка C переходит в точку A , а коэффициент гомотетии равен == . Следовательно, если x — радиус окружности K2 , то = , откуда находим, что x= .
Аналогично, радиус окружности T1 также равен (формула симметрична относительно r и R ).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4832