Информация о задаче

Задача 55510

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Нистореску К.

Найдите углы остроугольного треугольника ABC, если известно, что его биссектриса AD равна стороне AC и перпендикулярна отрезку OH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Продолжите отрезок CH до пересечения с описанной окружностью данного треугольника в точке F и докажите, что треугольник AOF -- равносторонний.

Решение

Продолжим отрезки AO и AH до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC в точках E и M соответственно. Поскольку $\angle$ AME = 90^o, то EM || BC. Поэтому равны меньшие дуги MC и EB. Следовательно, $\angle$ CAM = $\angle$ BAE, а т.к. AD — биссектриса угла BAC, то $\angle$ OAD = $\angle$ HAD. Тогда высота AK треугольника OAH является его биссектрисой. Следовательно, треугольник OAH — равнобедренный.

Кроме того, высота AP равнобедренного треугольника CAD также является его биссектрисой. Поэтому

$\displaystyle \angle$ CAM = $\displaystyle \angle$ MAD = $\displaystyle \angle$ DAO = $\displaystyle \angle$ OAB.

Обозначим через $\alpha$ каждый из этих углов. Продолжим отрезок CH до пересечения с окружностью в точке F. Тогда

$\displaystyle \angle$ BAF = $\displaystyle \angle$ BCF = $\displaystyle \angle$ BAH.

Значит, высота AL треугольника HAF является биссектрисой. Поэтому треугольник HAF — равнобедренный, а AL — его медиана. Следовательно, если R — радиус окружности, то

AF = AH = AO = R = FO,

т.е. треугольник AOF — равносторонний. Тогда

$\displaystyle \angle$ AOF = 60^o, $\displaystyle \angle$ ACF = 30^o,

а т.к. $\angle$ ACF = 90^o - 4 $\alpha$ , то 90^o - 4 $\alpha$ = 30^o. Отсюда находим, что $\alpha$ = 15^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BAC = 4 $\displaystyle \alpha$ = 60^o, $\displaystyle \angle$ ACB = 90^o - $\displaystyle \angle$ CAP = 90^o - $\displaystyle \alpha$ = 75^o, $\displaystyle \angle$ ABC = 45^o.

Ответ

60^o, 45^o, 75^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4833