Задача 55515

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C. Докажите, что касательные к этим окружностям в точках A, B и C пересекаются в одной точке.

Подсказка

Докажите, что вписанная окружность треугольника с вершинами в центрах данных окружностей касается его сторон в точках A, B и C.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ - центры указанных окружностей; x, y, z - их радиусы. Точки A, B, C лежат на сторонах O₁O₂, O₂O₃, O₁O₃ треугольника O₁O₂O₃. Если A₁ - точка касания вписанной окружности этого треугольника со стороной O₁O₂, а p - полупериметр треугольника, то

O₁A₁ = p - O₂O₃ = x + y + z - (y + z) = x.

Поэтому точка A₁ совпадает с точкой A.

Аналогично докажем, что вписанная окружность касается остальных сторон треугольника O₁O₂O₃ в точках B и C.

Следовательно, перпендикуляры к сторонам треугольника O₁O₂O₃, восставленные из точек A, B и C (т.е. указанные касательные), пересекаются в центре вписанной окружности этого треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4838