Информация о задаче

Задача 55527

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если все они пересекаются в одной точке, как показано на рис.1, то сумма отмеченных дуг AK, CK и EK равна 180^o.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ — центры указанных окружностей. Обозначим

$\displaystyle \angle$ CO₁K = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AO₂K = $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \angle$ EO₃K = $\displaystyle \gamma$ .

Докажем, что $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = 180^o.

Четырёхугольники CO₁KO₃, AO₂KO₁ и EO₃KO₂ — ромбы. Поэтому

KO₁ = O₃C, KO₁ || O₃C, KO₂ = O₃E, KO₂ || O₃E,

$\displaystyle \angle$ O₁KO₂ = $\displaystyle \angle$ CO₃E = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ .

Следовательно,

180^o = $\displaystyle \angle$ O₁KO₂ + $\displaystyle \angle$ AO₁K = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$ .

Ответ

Соедините центры окружностей с точками A, C и E.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4850