Информация о задаче

Задача 55529

Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Ягубьянц А.

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём $\angle$ APB = $\angle$ ACB + 60^o, $\angle$ BPC = $\angle$ BAC + 60^o, $\angle$ CPA = $\angle$ CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

Подсказка

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC, $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда $\angle$ BPC = $\alpha$ + 60^o.

С другой стороны,

$\displaystyle \angle$ BPC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \cup$ CA₁B + $\displaystyle \cup$ B₁AC₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2 $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \cup$ B₁AC₁).

Из уравнения

$\displaystyle \alpha$ + 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (2 $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \cup$ B₁AC₁)

находим, что $\cup$ B₁AC₁ = 120^o. Следовательно, $\angle$ B₁A₁C₁ = 60^o. Аналогично $\angle$ A₁B₁C₁ = 60^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4852