ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55530
УсловиеВ данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
ПодсказкаДокажите, что каждая такая касательная проходит через середину дуги, дополняющей дугу данного сегмента до окружности.
РешениеПусть окружности S1 и S2 радиусов r1 и r2, вписанные в сегмент окружности S радиуса R, касаются между собой внешним образом в точке P, а также касаются хорды AB окружности S и дуги AB этой окружности в точках C и D соответственно. Докажем, что общая касательная к окружностям S1 и S2, проведённая через точку P, проходит через середину M дуги AB, не содержащей точек C и D.
При гомотетии с центром в точке C и с коэффициентом
Пусть MN — диаметр окружности S, K — его точка пересечения с хордой AB. Прямоугольные треугольники MKE и MCN подобны. Поэтому Докажем теперь, что прямая MP — общая касательная к окружностям S1 и S2. Предположим, что эта прямая вторично пересекает окружность S1 в точке P1, а окружность S2 — в точке P2. Тогда
MP1 . MP = ME . MC = MF . MD = MP2 . MP.
Поэтому точки P1 и P2 совпадают, а т.к. P — единственная общая
точка окружностей S1 и S2, то точки P1 и P2 совпадают с точкой P.
Следовательно, MP — общая касательная к окружностям S1 и S2.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |