Информация о задаче

Задача 55540

Темы:	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Муратов А.А.

Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Подсказка

Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой; периметры равновеликих треугольников с равными вписанными окружностями равны между собой.

Решение

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан m_a и m_b. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ m_a. (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a и m_b, второй — b и m_a). Поэтому периметры этих треугольников равны, т.е.

a + m_b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b = b + m_a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a + m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b + m_a. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что a = b.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4863