Информация о задаче

Задача 55553

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Произволов В.В.

Точки M и N на сторонах BC и AB равностороннего треугольника ABC выбраны так, что площадь треугольника AKC равна площади четырёхугольника BMKN (K — точка пересечения отрезков AM и CN). Найдите угол AKC.

Подсказка

Треугольники BNC и CMA равны.

Решение

Поскольку

S_BNC = S_BMKN + S_MKC = S_AKC + S_MKC = S_CMA,

и BC = AC, то высоты треугольников BNC и CMA, опущенные на их основания BC и AC, равны. Поэтому BN = CM. Следовательно, треугольники BNC и CMA равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BNK + $\displaystyle \angle$ BMK = $\displaystyle \angle$ BNK + (180^o - $\displaystyle \angle$ AMC) =

= $\displaystyle \angle$ BNK + (180^o - $\displaystyle \angle$ BNK) = 180^o.

Значит, четырёхугольник BMKN — вписанный. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ AKC = $\displaystyle \angle$ MKN = 180^o - $\displaystyle \angle$ MBN = 180^o - 60^o = 120^o.

Можно доказать, что треугольник BNC получен из треугольника CMA поворотом на угол 120^o.

Ответ

120^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4876