ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55563
Условие
Впишите в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра.
ПодсказкаПусть A1 — вершина искомого треугольника, принадлежащая стороне BC треугольника ABC. Рассмотрите образы точки A1 при симметриях относительно прямых AB и AC. РешениеПусть вершины A1, B1, и C1 треугольника A1B1C1 принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Рассмотрим точки M и N, симметричные точке A1 относительно прямых AB и AC соответственно. Тогда, если PΔA1B1C1 – периметр треугольника A1B1C1, то PΔA1B1C1=A1C1+C1B1+B1A1=MC1+C1B1+B1N⩾ причём равенство достигается только в случае, если прямая MN проходит через точки B_1 и C_1. Таким образом, из всех треугольников с фиксированной точкой A_1 наименьший периметр будет у треугольника A'PQ, где P и Q – точки пересечения MN со сторонами AB и AC. Выберем теперь точку A_1, для которой периметр треугольника A_1PQ будет минимальным. Поскольку AM = AA_{1} = AN, то треугольник MAN — равнобедренный и \angle MAN = 2\angle BAA_{1}+ 2 \angle A_{1}AC = 2\angle BAC. Следовательно, MN = 2AM\sin \angle BAC = 2AA_{1}\sin \angle BAC \geqslant 2h\sin \angle BAC, где h — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A. Равенство достигается только в случае, когда точка A_1 — основание высоты. Таким образом, искомый треугольник – это треугольник A'PQ, где A' – основание высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A, P и Q – точки пересечения прямой, соедняющей точки, симметричные A' относительно AB и AC, и сторон AB, AC.
Комментарии. 1. Изложенное решение основано на доказательстве Фейера (L.Fejer). Это, а также другие изящные доказательства данного утверждения (Г.А.Шварц, Л.Шрутка, Бюкнер) см. в книге Г.Радемахера и О.Теплица "Числа и фигуры" (М.,1962, с.36-46). 2. Можно показать, что точки P и Q пересечения прямой MN со сторонами соответственно AB и AC также будут основаниями высот треугольника ABC. Поскольку AM = AA' = AN, то точки M, A' и N лежат на окружности с центром A и радиусом AA'. Тогда \angle A'NP=\angle A'AP (вписанный угол равен половине соответствующего центрального). Поэтому из точек A и N отрезок A'P виден под одним и тем же углом. Значит, точки A, P, A', N лежат на одной окружности. С другой стороны, треугольники AA'C и ANC симметричны относительно прямой AC, поэтому они равны. Значит, из точек A' и N отрезок AC виден под прямым углом, поэтому эти точки лежат на окружности с диаметром AC. Поскольку через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность, то все пять точек A, P, A', C и N лежат на окружности с диаметром AC. Тогда из точки P диаметр AC виден под прямым углом, т.е. CP — высота треугольника ABC. Аналогично докажем, что BQ — также высота треугольника ABC.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке