Версия для печати
Убрать все задачи

---

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.
  а) Докажите, что это возможно.
  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

Подсказка

Если A — данная вершина искомого треугольника, принадлежащая одной из трёх данных прямых, то точки, симметричные точке A относительно двух других данных прямых, лежат на прямой, содержащей сторону искомого треугольника.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть A — его вершина, лежащая на данной прямой l₁, а вершины B и C лежат на данных прямых l₂ и l₃. Тогда точка M, симметричная точке A относительно прямой l₂, и точка N, симметричная точке A относительно прямой l₃, лежат на прямой BC.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точки M и N, симметричные данной точке A (лежащей на данной прямой l₁) относительно данных прямых l₂ и l₃. Прямая MN пересекает прямые l₂ и l₃ в вершинах B и C искомого треугольника ABC.

Замечания

В "Задачнике Кванта" данная задача формулировалась так:
На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Известно, что прямые являются биссектрисами некоторого треугольника, а отмеченная точка - одна из его вершин. Постройте этот треугольник.

Источники и прецеденты использования