Дана трапеция ABCD с основаниями  AD = a  и  BC = b.  Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по точке H пересечения его высот, центру O описанной окружности и прямой l, на которой лежит одна из его сторон.

Подсказка

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть AB -- его сторона, лежащая на данной прямой l, C₁ — середина этой стороны. Тогда CH = 2OC₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим проекцию C₁ точки O на данную прямую l. На прямой, проходящей через точку H перпендикулярно прямой l, откладываем отрезок HC, равный 2OC₁. Тогда C — вершина искомого треугольника. Затем проводим окружность с центром O и радиусом OC. Её пересечение с прямой l даёт вершины A и B искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования