Задача 55605

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть S — окружность, описанная около треугольника ABC. Докажите, что три окружности, симметричные S относительно прямых, содержащих стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Подсказка

Три указанные окружности проходят через точку пересечения высот треугольника.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда

sinAHB = sinC.

Поэтому радиус описанной окружности треугольника AHB равен радиусу описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, если C90^o, то эти окружности различны и симметричны относительно прямой AB.

Аналогично для остальных окружностей. Из единственности окружности, симметричной данной, следует, что три указанные окружности проходят через точку H.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5054