Задача 55628

Темы:    [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Существует ли фигура, имеющая ровно две оси симметрии, но не имеющая центра симметрии?

Подсказка

Если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

Решение

Докажем сначала, что если фигура имеет ровно две оси симметрии, то они взаимно перпендикулярны. Действительно, пусть l₁ и l₂ — оси симметрии фигуры. Предположим, что они не перпендикулярны. Тогда прямая, симметричная l₂ относительно l₁, — также ось симметрии, не совпадающая ни с l₁, ни с l₂. Получили противоречие.

Докажем теперь, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии. Примем оси симметрии за оси координат OX и OY. Тогда, если точка (x;y) принадлежит фигуре, то ей также принадлежат точки (- x;y) (симметрия относительно оси OY) и (- x; - y) (симметрия относительно OX).

Значит, точка (- x; - y), симметричная точке (x;y) относительно начала координат, принадлежит фигуре. Следовательно, фигура симметрична относительно начала координат.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5080