Задача 55643

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.

Подсказка

Разрезы сложатся в отрезок длины 2, и этим отрезком надо отсечь равнобедренный треугольник.

Решение

Докажем, сначала, что среди всех треугольников с данной стороной AB и данным противолежащим углом C наибольший периметр имеет равнобедренный.

Действительно, пусть A₁ — точка, симметричная вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C треугольника ABC. Тогда

BA₁ = BC + CA₁ = BC + AC,

а точка A₁ лежит лежит на окружности, проходящей через точки A и B так, что AB = C.

Если BA₁ максимально, то BA₁ — диаметр. Тогда C — центр этой окружности и CA = CB.

Пусть теперь C — вершина данного угла, BM и AM — разрезы длины 1 (точки B и A лежат на сторонах угла). Зафиксируем угол между BM и AM, при этом CB + CA максимально, когда AC = BC, т.е. точка M лежит на биссектрисе угла C. Если так, то BC + AC максимально, когда BMC = 90^o. Следовательно, BMA = 180^o и AC = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5096