Задача 55645

Темы:    [ Симметрия и построения ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l точку X, для которой AX + BX = a, где a — данная величина.

Подсказка

Пусть A₁ — точка, симметричная точке A относительно данной прямой l. Через точки A и A₁ проведите окружность, касающуюся внутренним образом окружности с центром в точке B и радиусом a.

Решение

Предположим, что нужная точка X построена. На продолжении отрезка BX за точку X отложим отрезок XC, равный XA. Тогда

BC = BX + XC = BX + XA = a.

Следовательно, точка C лежит на окружности S₁ с центром в точке В и радиусом a. С другой стороны, т.к. XC = XA, то точки A и C лежат на окружности S₂ с центром в точке Х и радиусом XA = XC. Поскольку BC = BX + XC, то окружности S₁ и S₂ касаются внутренним образом в точке C, а т.к. окружность симметрична относительного любого своего диаметра, то точка A₁, симметричная точке A относительно прямой l, расположена на окружности S₂.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность S₁ с центром в точке B и радиусом a. Затем через точку A и симметричную ей относительно прямой l точку A₁ проводим окружность S₂, касающуюся окружности S₁. Центр окружности S₂ есть искомая точка X.

Задача имеет два решения, если BA₁ > a, одно решение, если BA₁ = a, и ни одного решения, если BA₁ < a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5098