ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55674
Условие
В интервале (0;
Подсказка
Задача сводится к построению вписанного в данную окружность n-угольника, стороны которого соответственно параллельны n данным прямым.
Решение
Предположим, что нужный многоугольник
A1A2...An построен.
Пусть
При композиции осевых симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln вершина A1 переходит в себя. Если n нечётно, то такая композиция есть симметрия относительно некоторой прямой l, а точка A1 (неподвижная точка этой симметрии) лежит на оси симметрии. В этом случае годится следующее построение.
Через центр O данной окружности проводим прямые l1, l2, ...,
ln, последовательно образующие между собой углы
Остальные вершины искомого n-угольника строятся с помощью симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln - 1. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до движения). Если же n чётно, то композиция симметрий относительно прямых l1, l2, ..., ln есть поворот на угол
2(
вокруг точки O. Поскольку при этом повороте точка A1,
отличная от центра O поворота, остается на месте, то это
тождественное преобразование. Поэтому
Если
Ответ
Построение возможно: при нечётном n — всегда, при чётном — при условии, что
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке