Задача 55681

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке K, причём точка K делит ломаную ACB на две части равной длины. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Подсказка

Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра и неравенством треугольника.

Решение

  Пусть  BC ≠ AC.  Отрезки AK и BK симметричны относительно серединного перпендикуляра к стороне AB. Следовательно,  AK = BK.
  В треугольнике BKC  BK < KC + BC,  то есть  AK < KC + BC,  но  AK = KC + BC,  что невозможно. Следовательно,  AC = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5141