Информация о задаче

Задача 55699

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

Подсказка

Примените параллельный перенос и теорему о касательной и секущей.

Решение

Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, а данная точка лежит вне обеих окружностей. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть M — данная точка, S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры, AB и CD — равные хорды (точки A, B, C, D расположены на прямой в указанном порядке).

При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{CA}$ окружность S₂ перейдёт в окружность S с центром O. Прямая O₁O перпендикулярна общей хорде AB окружностей S и S₁. Проведём из данной точки M касательные MP и MQ к окружностям S₁ и S соответственно (P и Q — точки касания). По теореме о касательной и секущей

MQ² = MA^.MB = MP².

Поэтому MQ = MP.

Пусть R — радиус окружности S₂ (и S). По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OQM находим, что

OM² = OQ² + MQ² = R² + MP².

Следовательно, точка O лежит на окружности с центром в точке M и радиусом, равным $\sqrt{R^{2} + MP^{2}}$ . С другой стороны, т.к. $\angle$ O₁OO₂ = 90^o, то точка O лежит на окружности с диаметром O₁O₂.

Отсюда выстекает следующее построение. Из данной точки M проводим касательную MP к окружности S₁. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам, равным радиусу R окружности S₁ и отрезку MP. С центром в точке M проводим окружность радиусом, равным гипотенузе построенного треугольника. Пересечение этой окружности с окружностью, построенной на отрезке с концами в центрах данных окружностей как на диаметре, даёт точку O. Наконец, через точку M проводим прямую, параллельную OO₂. Данные окружности высекают на проведённой прямой равные хорды.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	15


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	2
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер	15.011


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5513