Задача 55705

Темы:    [ Окружности (прочее) ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

Подсказка

Рассмотрите образы центра и произвольной точки данной окружности при симметрии относительно данной точки.

Решение

Пусть при симметрии относительно точки O центр Q данной окружности S переходит в точку Q, а произвольная точка X этой окружности - в точку X₁.

Из равенства треугольников X₁Q₁O и XQO(по двум сторонам и углу между ними) следует, что Q₁X₁ = QX = R, где R - радиус данной окружности.

Следовательно, точка X₁ лежит на окружности S₁ радиуса R с центром в точке Q₁.

Очевидно, что каждая точка окружности S₁ симметрична какой-то точке окружности S.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5700