Задача 55714

Темы:    [ Композиция центральных симметрий ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Существуют фигуры, имеющие бесконечное множество центров симметрии (например, полоса между двумя параллельными прямыми). Может ли фигура иметь более одного, но конечное число центров симметрии?

Подсказка

Пусть S и O — два ценра симметрии фигуры. Докажите, что образ точки S при симметрии относительно точки O — также центр симметрии фигуры.

Решение

Пусть S и O — центры симметрии фигуры. Рассмотрим образ P точки S при симметрии относительно точки O. Докажем, что точка P -- также центр симметрии фигуры.

Пусть A — произвольная точка фигуры. Тогда образ A₁ точки A при симметрии относительно точки O принадлежит фигуре. Фигуре также принадлежит образ A₂ точки A₁ при симметрии относительно точки S, и образ A₃ точки A₂ при симметрии относительно точки O. Тогда

AP = SA₁, AP || SA₁, PA₃ = A₂S, PA₃ || A₂S.

Поэтому AP = PA₃, и точки A, A₃ и P лежат на данной прямой. Следовательно, точка A₃, симметричная точке A фигуры относительно точки P, также принадлежит фигуре. Следовательно, P — центр симметрии этой фигуры. Аналогично можно построить любое число различных центров симметрии фигуры.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5710