ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55758
УсловиеДокажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.
ПодсказкаДокажите, что при гомотетии относительно точки касания с коэффициентом, равным по модулю отношению радиусов, одна из окружностей переходит в другую.
РешениеПусть окружности S1 и S2 с центрами соответственно O1 и O2 и радиусами r и R касаются внешним образом в точке K. Докажем, что при гомотетии с центром K и коэффициентом - окружность S1 переходит в окружность S2. Пусть A — произвольная точка окружности S1, а прямая AK вторично пересекает окружность S2 в точке B. Поскольку треугольники AO1K и BO2K равнобедренные, то
O1AK = O1KA = O2KB = O2BK.
Поэтому треугольники AO1K и BO2K подобны.
Следовательно,
KB = KA . = . KA,
а т.к. точки A и B лежат по разные стороны от точки K, то точка B
гомотетична точке A относительно точки K с коэффициентом
- .
Ясно также, что любая точка окружности S2 является образом
некоторой точки S1 при этой гомотетии.
Аналогично рассматривается случай внутреннего касания.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|