Задача 55760

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, вторую -- в точках C и D. Докажите, что AB || CD.

Подсказка

Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

Решение

Первый способ.

Две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания. При этой гомотетии точки A и B переходят в точки C и D. Поэтому прямая AB переходит в прямую CD. Следовательно, эти прямые параллельны.

Второй способ.

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, r и R — их радиусы. Равнобедренные треугольники O₁KA и O₂KC подобны по двум углам. Поэтому

= = .

Аналогично = . Следовательно, треугольники AKB и CKD подобны. Поэтому KAB = KCD. Значит, AB || CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6403