Задача 55764

Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

Решение

  Середины сторон данного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона (см. задачу 53475). Четырёхугольник с вершинами в точках пересечения медиан указанных треугольников гомотетичен этому параллелогнамму относительно точки пересечения диагоналей исходного четырёхугольника (с коэффициентом ⅔).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	1
Название	Гомотетичные многоугольники
Тема	Гомотетичные многоугольники
задача
Номер	19.001
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6407