|
|
 |
Условие
С помощью циркуля и линейки впишите в треугольник две равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и другой окружности.
Подсказка
Пусть M — точка пересечения биссектрис данного треугольника ABC. Впишите в треугольник AMB прямоугольник, одна сторона которого вдвое больше другой.
Решение
Предположим, что нужные окружности S1 и S2 построены. Пусть обе они касаются стороны AB данного треугольника ABC;O1 и O2 — центры построенных окружностей, а R — их радиус.
Если P1 и P2 — проекции центров O1 и O2 на AB, то O1P1P2O2 — прямоугольник со сторонами R и 2R, причём точки O1 и O2 лежат на биссектрисах треугольника ABC.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M пересечения биссектрис треугольника ABC. В треугольник AMB вписываем прямоугольник O1P1P2P2 с вершинами O1 и O2 на сторонах соответственно AM и BM и со стороной P1P2 на стороне AB так, что P1P2 = 2O1P1 (это можно сделать с помощью гомотетии с центром A). Затем проводим окружности с центрами O1 и O2 и радиусами, равными O1P1. Можно доказать, что это и есть искомые окружности.
Покажем, как построить указанные окружности, касающиеся стороны AB данного треугольника ABC.
Возьмём прямую c, параллельную прямой AB. Построим окружности S1 и S2 одного радиуса, касающиеся друг друга и прямой c. Затем проведём касательные a и b к этим окружностям, параллельные прямым BC и AC соответственно.
Стороны треугольника A1B1C1, образованного прямыми a, b и c, соответственно параллельны сторонам треугольника ABC. Поэтому существует гомотетия, переводящая треугольник A1B1C1 в треугольник ABC. Искомые окружности являются образами окружностей S1 и S2 при этой гомотетии.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6412 |
