Информация о задаче

Задача 55782

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Купцов Л.

На плоскости расположены три окружности S₁, S₂, S₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно — каждая вне двух других, причём r₁ > r₂ и r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂ проведены касательные к окружности S₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₃ проведены касательные к окружности S₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

Подсказка

Примените гомотетию.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ — центры окружностей S₁, S₂, S₃ соответственно; A — точка пересечения общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₃, B — к окружностям S₁ и S₂ (рис.1).

Поскольку точка пересечения общих внешних касательных к двум окружностям является их центром гомотетии, то четвёртая окружность должна быть гомотетичной окружности S₂ с центром гомотетии A и окружности S₃ с центром гомотетии B. Поэтому её центр O должен лежать на пересечении отрезков AO₂ и BO₃.

Докажем теперь существование такого числа r, что окружность S с центром O и радиусом r гомотетична S₂ с центром гомотетии A (т.е. ${\frac{r}{r_{2}}}$ = ${\frac{AO}{AO_{2}}}$ ) и одновременно гомотетична S₃ с центром гомотетии B (т.е. ${\frac{r}{r_{3}}}$ = ${\frac{BO}{BO_{3}}}$ ), и найдём число r.

Через точку A проведём прямую, параллельную O₁B, до пересечения с прямой BO₃ в точке T (рис.2). Из подобия треугольников AO₃T и O₁O₃B следует, что

AT = BO₁^. $\displaystyle {\frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}}}$ ,

а из подобия треугольников AOT и O₂OB —

$\displaystyle {\frac{AO}{OO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{AT}{BO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{BO_{1}\cdot \frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}}}{BO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{BO_{1}}{BO_{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AO_{3}}{O_{1}O_{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}}{r_{2}}}$ ^. $\displaystyle {\frac{r_{3}}{r_{1} - r_{3}}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{r}{r_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{AO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{AO}{AO + OO_{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}r_{3}}{r_{1}r_{3} + r_{2}(r_{1} - r_{3})}}$ = $\displaystyle {\frac{r_{1}r_{3}}{r_{1}r_{3} + r_{1}r_{2} - r_{2}r_{3}}}$ .

Отсюда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{r_{1}r_{3} + r_{1}r_{2} - r_{2}r_{3}}}$ .

Ту же самую величину мы получим и при втором способе нахождения r — из соотношения ${\frac{r}{r_{3}}}$ = ${\frac{BO}{BO_{3}}}$ (в этом случае r₂ и r₃ просто поменяются местами). Тем самым утверждение задачи доказано.

Ответ

${\frac{r_{1}r_{2}r_{3}}{r_{1}r_{3} + r_{1}r_{2} - r_{2}r_{3}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6425