ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55783
Темы:    [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты ABB1A2, BCC1B2 и CAA1C2.
Докажите, что перпендикуляры к отрезкам A1A2, B1B2 и C1C2, восставленные в их серединах, пересекаются в одной точке.


Подсказка

Докажите, что указанные перпендикуляры параллельны медианам треугольника ABC.


Решение

  Через центр каждого квадрата проведём прямую, параллельную стороне треугольника, на которой построен этот квадрат. Пусть эти прямые пересекаются в точках A0, B0, C0 (рис. слева). Тогда, например, A0 – центр описанной окружности треугольника A0A1A2. Поэтому перпендикуляр, опущенный из точки A0 на A1A2, проходит через середину отрезка A1A2. Аналогично для остальных вершин треугольника A0B0C0.

           
  Рассмотрим поворот на 90° вокруг точки A, переводящий точку B в A2 (рис. справа). При этом повороте точка C переходит в некоторую точку K, лежащую на прямой A1A, а точка A3 – в точку M – середину отрезка KA2.
  Поскольку  AMAA3,  а   AMA1A2 (как средняя линия треугольника A1KA2), то   AA3A1A2. Следовательно, серединный перпендикуляр к отрезку A1A2 параллелен медиане AA3 треугольника ABC.
  Итак, серединные перпендикуляры к отрезкам A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны медианам треугольника ABC, то есть содержат медианы гомотетичного треугольника A0B0C0. Поэтому они пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6426

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .