Задача 56476

Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

В трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
  а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что  KQ || AD.
  б) Докажите, что  AK·KB = CL·LD.

Решение

а) Так как  BQ : QM = BN : AM = BK : AK,  то  KQ || AM.

б) Пусть O – центр вписанной окружности. Так как   ∠CBA + ∠BAD = 180°,  то   ∠AOB = 90°.  Следовательно,  AK·KB = KO² = R²,  где R – радиус вписанной окружности. Аналогично  CL·LD = R².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.021