Задача 56483

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Условие

На биссектрисе угла с вершиной C взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.
Докажите, что величина  ¹/_a + ¹/_b  не зависит от выбора этой прямой.

Решение

Пусть A и B – точки пересечения данной прямой со сторонами угла. Возьмём на отрезках AC и BC точки K и L так, что  PK || BC  и  PL || AC.  Так как треугольники AKP и PLB подобны, то  AK : KP = PL : LB,  то есть  (a – p)(b – p) = p²,  где  p = PK = PL.  Следовательно,  ¹/_a + ¹/_b = ¹/_p.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.028