Задача 56492

Темы:    [ Медиана делит площадь пополам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

Решение

Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC; точка A₁ симметрична M относительно середины отрезка BC. Длины сторон треугольника CMA₁ относятся к медианам треугольника ABC, как 2 : 3. Поэтому искомая площадь равна 9S_CMA1/4. Ясно, что  S_CMA1 = S/3 (см. решение задачи 4.1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	3
Название	Отношение площадей подобных треугольников
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.036