Решите систему:
 

   Решение

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

0 < < .

   Решение

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

Решение

Пусть на сторонах AB и BC построены прямоугольники ABC₁D₁ и A₂BCD₂, P, Q, R и S – центры прямоугольников, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA. Так как ∠ABC + ∠ADC = 180°,  то  ∠A₂BC₁ = ∠ADC.  Значит,  ∠PBQ = ∠SDR,  и треугольники RDS и PBQ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  RS = PQ.  Аналогично  QR = PS.  Следовательно, PQRS – параллелограмм, причём один из треугольников RDS и PBQ построен на его сторонах внешним образом, а другой внутренним. Аналогичное утверждение справедливо и для треугольников QCR и SAP. Поэтому
∠PQR + ∠RSP = ∠BQC + ∠DSA = 180°,  так как  ∠PQB = ∠RSD  и  ∠RQC = ∠PSA.  Следовательно, PQRS – прямоугольник.

Источники и прецеденты использования