Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

Решение

Пусть P, Q и R – центры квадратов, построенных на сторонах DA, AB и BC параллелограмма с острым углом α при вершине A. Тогда
∠PAQ = 90° + α = ∠RBQ,  а значит, треугольники PAQ и RBQ равны. Стороны AQ и BQ этих треугольников перпендикулярны, поэтому  PQ ⊥ QR.

Источники и прецеденты использования