Задача 56519

Тема:    [ Подобные фигуры ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты треугольника ABC. Опустим из точки B₁ перпендикуляры B₁K и B₁N на стороны AB и BC и перпендикуляры B₁L и B₁M на высоты AA₁ и CC₁. Так как  KB₁ : CC₁ = AB₁ : AC = LB₁ : A₁C, то  KLB₁ C₁A₁C, а значит, KL || C₁A₁. Аналогично  MN || C₁A₁. Кроме того, KN || C₁A₁ (см. задачу 1.54). Следовательно, точки K, L, M и N лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	6
Название	Подобные фигуры
Тема	Подобные фигуры
задача
Номер	01.063