Докажите, что произведение всех целых чисел от  2¹⁹¹⁷ + 1  до  2¹⁹⁹¹ – 1  включительно не есть квадрат целого числа.

   Решение

Решите уравнение  3x + 5y = 7  в целых числах.

   Решение

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

   Решение

На окружности взяты точки  A, C₁, B, A₁, C, B₁ в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.
б) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Тема:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

На окружности взяты точки  A, C₁, B, A₁, C, B₁ в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A₁B₁C₁.
б) Докажите, что если прямые AA₁, BB₁ и CC₁ являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A₁B₁C₁.

Решение

а) Докажем, например, что  AA₁ C₁B₁. Пусть M — точка пересечения этих отрезков. Тогда  AMB₁ = ( AB₁ + A₁B + BC₁)/2 = ABB₁ + A₁AB + BCC₁ = (B + A + C)/2 = 90^o.
б) Пусть M₁ и M₂ — точки пересечения отрезков AA₁ и BC, BB₁ и AC. Прямоугольные треугольники AM₁C и BM₂C имеют общий угол C, поэтому  B₁BC = A₁AC, а значит,  B₁C = A₁C и  B₁C₁C = A₁C₁C, т. е. CC₁ — биссектриса угла A₁C₁B₁.

Источники и прецеденты использования