Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.

   Решение

Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB — хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT — биссектриса угла AMB.

Решение

Пусть A₁ и B₁ — точки пересечения прямых MA и MB с меньшей окружностью. Так как M — центр гомотетии окружностей, то  A₁B₁ || AB. Поэтому  A₁MT = A₁TA = B₁A₁T = B₁MT.

Источники и прецеденты использования